математическая
теория, изучающая свойства скалярных, векторных (в общем случае - тензорных) полей, т. е. областей пространства (или плоскости), каждой точке
М которых поставлено в соответствие число
u (
М)
(например, температура, давление, плотность, магнитная проницаемость) или вектор
а (
М) (например, скорость частицы текущей жидкости, напряжённость силового
поля, в частности электрического или магнитного
поля) или тензор (например, напряжение в точке упругого тела, проводимость в анизотропном теле). Основным аппаратом П. т. является векторный и тензорный анализ (см.
Векторное исчисление, Тензорное исчисление)
.
Многие понятия дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных переносятся в П. т. Среди них важное значение для описания скалярных полей имеет производная по направлению максимального изменения скалярного
поля - т. н.
Градиент - вектор, инвариантный относительно выбора системы координат. Изменения векторного
поля в 1-м приближении характеризуются двумя величинами: скаляром, называется дивергенцией (См.
Дивергенция) (или расхождением)
поля, который характеризует изменение интенсивности (плотности)
поля, и вектором, называется вихрем (См.
Вихрь) (или ротором)
поля, который представляет собой векторную характеристику "вращательной составляющей" векторного
поля (его "скручивание"). Операцию перехода от скалярного
поля к его градиенту и операцию перехода от векторного
поля к его дивергенции часто обозначают
Гамильтона оператором
. Градиент скалярного
поля, дивергенция и вихрь векторного
поля обычно называют основными дифференциальными операциями П. т. К ним иногда относят операцию последовательного выполнения градиента и дивергенции, которая обозначается
Лапласа оператором
. При применении основных дифференциальных операций к полям с определёнными видами симметрий (сферических, цилиндрических и др.) используют специальные виды криволинейных координат (полярные, цилиндрические и др.), что упрощает вычисления.
В П. т. используется ряд интегральных соотношений и понятий, связывающих дифференцирование и интегрирование при изучении частей (или в целом) полей. Так,
Потоком векторного
поля через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора
поля на единичный вектор нормали к поверхности. Поток векторного
поля связывается с дивергенцией при помощи Остроградского формулы (См.
Остроградского формула): поток векторного
поля через поверхность равен интегралу от дивергенции по объёму, ограниченному этой поверхностью. Др. важной характеристикой векторных полей является
Циркуляция векторного
поля по замкнутому контуру - интеграл по контуру от скалярного произведения векторного
поля на единичный вектор касательной к контуру. Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна интегралу от вихря
поля по любой поверхности, ограниченной данным контуром (
Стокса формула)
. По вихрю и дивергенции различают потенциальные
поля (rot
a = 0), соленоидальные (div
a = 0) и лапласовы (Δφ = 0).
А. Б. Иванов.